Recursive Sequences遞歸數列 – 共鳴研修空間

Recursive Sequence 遞歸數列 是指一個數列的每一項都由前一項式前幾項所定義或計算出來。
例如： $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$ ，其中 $a_1=0$ 及 $a_2=1$ ，則會得出 $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...$
由於題目中的關係式都牽涉到不少的變數，大部分同學都覺得無從入手。

要計算上述題型時，我們可以用一個口訣來計算：「由後計到前」。

於題目中，已知 $a_3=5$ 及 $a_6=70$ ，題目所求的項是 $a_8$ 。口訣「由後計到前」的意思是先計算最後的項數（ $a_8$ ），然後接連計算至所知的最前項數（ $a_3$ ）。代 $n=6, 5, 4, 3$ ，可順序得出 $a_8, a_7, a_6, a_5$ ：

$\begin{align*}a_8&=2a_7+a_6\implies a_8=2a_7+70\,\,...\,\,(1)\\[1em]a_7&=2a_6+a_5\implies a_7=2(70)+a_5=140+a_5\,\,...\,\,(2)\\[1em]a_6&=2a_5+a_4\implies 70=2a_5+a_4\implies a_4+2a_5=70\,\,...\,\,(3)\\[1em]a_5&=2a_4+a_3\implies a_5=2a_4+5\implies -2a_4+a_5=5\,\,...\,\,(4)\\[1em]\end{align}$

由（3）及（4），可得出 $a_4=12$ 及 $a_5=29$ 。
把 $a_5=29$ 代入（2），可得出 $a_7=140+29=169$ 。
把 $a_7=169$ 代入（1），可得出 $a_8=2(169)+70=408$ 。

即時練習

Let $a_n$ be the $n$ th term of a sequence. If $a_4 =13$ , $a_7 =-35$ and $a_{n+2} =2a_n-a_{n+1}$ for any positive integer $n$ , then $a_{9}=$

A. $-163$
B. $-93$
C. $93$
D. $163$