Recursive Sequences
遞歸數列



Recursive Sequence 遞歸數列 是指一個數列的每一項都由前一項式前幾項所定義或計算出來。
例如:a_{n+2}=a_n+a_{n+1},其中 a_1=0a_2=1,則會得出 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
由於題目中的關係式都牽涉到不少的變數,大部分同學都覺得無從入手。

要計算上述題型時,我們可以用一個口訣來計算:「由後計到前」。

於題目中,已知 a_3=5a_6=70,題目所求的項是 a_8。口訣「由後計到前」的意思是先計算最後的項數(a_8),然後接連計算至所知的最前項數(a_3)。代 n=6, 5, 4, 3,可順序得出 a_8, a_7, a_6, a_5

    \begin{align*}a_8&=2a_7+a_6\implies a_8=2a_7+70\,\,...\,\,(1)\\[1em]a_7&=2a_6+a_5\implies a_7=2(70)+a_5=140+a_5\,\,...\,\,(2)\\[1em]a_6&=2a_5+a_4\implies 70=2a_5+a_4\implies a_4+2a_5=70\,\,...\,\,(3)\\[1em]a_5&=2a_4+a_3\implies a_5=2a_4+5\implies -2a_4+a_5=5\,\,...\,\,(4)\\[1em]\end{align}


由(3)及(4),可得出 a_4=12a_5=29
a_5=29 代入(2),可得出 a_7=140+29=169
a_7=169 代入(1),可得出 a_8=2(169)+70=408


即時練習

Let a_n be the nth term of a sequence. If a_4 =13, a_7 =-35 and a_{n+2} =2a_n-a_{n+1} for any positive integer n, then a_{9}=

A. -163
B. -93
C. 93
D. 163

a_n 為某數列的第 n 項。若 a_4 =13a_7 =-35 及對任意正整數 na_{n+2} =2a_n-a_{n+1},則 a_9=

A. -163
B. -93
C. 93
D. 163

題解

Past Paper 參考題目

HKDSE Maths 2014 Paper 2 Q14
HKDSE Maths 2018 Paper 2 Q12

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