Logarithmic Transformation對數變換

Logarithmic Transformation 對數變換是一種牽涉到 Logarithm 對數及 Equation of Straight Lines 直線方程的題目。

先回顧一下 Logarithm 對數常用的性質：

$\begin{align*}\log_aM+\log_aN&=\log_a(MN)\,...\,(1)\\[1em]\log_aM-\log_aN&=\log_a\Big(\dfrac{M}{N}\Big)\,...\,(2)\\[1em]k\log_aM&=\log_aM^k\,...\,(3)\\[1em]\log_aM&=\dfrac{\log_bM}{\log_ba}\,...\,(4)\\[1em]\log_aa&=1\,...\,(5)\\\log_a1&=0\,...\,(6)\end{align*}$

另外，求 Equation of Straight Lines 直線方程 的常用方法有兩種：

1. Point - Slope Form 點斜式：

$\begin{align*}\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=m\,...\,(7)\end{align*}$

2. Slope - Intercept Form 斜截式：

$\begin{align*}y=mx+c\,...\,(8)\end{align*}$

要處理 Logarithmic Transformation 對數變換 這類的問題，我們要把 水平軸 及 垂直軸 上的變數當作平常常見的 $x$ 軸和 $y$ 軸。用 Equation of Straight Lines 直線方程 的方法就可以得出 $x$ 及 $y$ 的關係，然後用 Logarithm 對數的性質把方程化簡。

上述題目提供了 Slope 斜率及 intercepts on the vertical axis 垂直軸上的截距，我們可以用 Slope - Intercept Form 斜截式去得出兩個變數的關係：

$\begin{align*}\log_{81}(y^3)&=5\log_{243}(\sqrt[4]{x})+3\,......\,\text{from (8)}\\[1em]3\log_{81}(y)&=5\log_{243}(x^{\tfrac{1}{4}})+3\,......\,\text{from (3)}\\[1em]3\cdot \dfrac{\log_3y}{\log_381}&=5\cdot \dfrac{\log_3x^{\tfrac{1}{4}}}{\log_3243}+3\,......\,\text{from (4)}\\[1em]3\cdot \dfrac{\log_3y}{4}&=5\cdot \dfrac{\log_3x^{\tfrac{1}{4}}}{5}+3\\[1em]\dfrac{3}{4}\log_3y&=\log_3x^{\tfrac{1}{4}}+3\log_33\,......\,\text{from (5)}\\[1em]\log_3y^{\tfrac{3}{4}}&=\log_3x^{\tfrac{1}{4}}+\log_33^3\,......\,\text{from (3)}\\[1em]\log_3y^{\tfrac{3}{4}}&=\log_3\Big(x^{\tfrac{1}{4}}\cdot 3^3\Big)\,......\,\text{from (1)}\\[1em]y^{\tfrac{3}{4}}&=27x^{\tfrac{1}{4}}\\[1em]\Big(y^{\tfrac{3}{4}}\Big)^{4}&=\Big(27x^{\tfrac{1}{4}}\Big)^4\\[1em]y^3&=27^4x\\[1em]y&=\sqrt[3]{27^4x}\\[1em]y&=81\sqrt[3]{x}\text{ (or $81x^{\tfrac{1}{3}}$)}\end{align*}$

即時練習

It is given that $\log_{16}(y^4)$ is a linear function of $\log_{64}(\sqrt[5]{x})$ . The intercepts on the vertical and on the horizontal axis of the graph of the linear function are $4$ and $\dfrac{2}{5}$ respectively. Express $x$ in terms of $y$ .