Scale on a map地圖比例 - 共鳴研修空間

地圖比例一向是 HKDSE Maths Paper 2 的熱門題目，雖然所需要的知識只是初中程度的比例，但卻令許多人會不小心犯錯。以下就為大家講解一下不如何處理地圖比例中的面積問題。

應付地圖比例的問題，首先要清楚如何於不同單位間進行換算：

長度單位：

$\begin{align*}1\text{ km}&=1,000\text{ m}=100,000\text{ cm}\\1\text{ m}&=100\text{ cm}\\\end{align*}$

面積單位：

$\begin{align*}1\text{ km}^2&=1,000^2\text{ m}^2=1,000,000\text{ m}^2\\1\text{ m}^2&=100^2\text{ cm}^2=10,000\text{ cm}^2\\\end{align*}$

其次，比例尺 Scale of the Map 的 $1:n$ 是指地圖上的 1 個單位代表實際的 $n$ 個單位。
所以，當我們需要處理面積比例的問題時，則需運用到 相似圖形的比例 Ratio of Similar Figures：

面積比＝長度比 $^2$ ：

(1) $\begin{equation*}\dfrac{A_1}{A_2}= \Big(\dfrac{L_1}{L_2}\Big)^2\end{equation*}$

從（1）可得出：

(2) $\begin{equation*}\dfrac{L_1}{L_2}= \sqrt{\dfrac{A_1}{A_2}}\end{equation*}$

利用以上知識，我們就可以輕鬆解決圖中的各條題目：

Q1. 設 $x$ 為所求面積，從（1）可得出：

$\begin{align*}\dfrac{200}{x}&=\Big(\dfrac{1}{2000}\Big)^2\\x&=800,000,000\text{ cm}^2\\x&=800,000,000\div 1,000^2\div 100^2\text{ km}^2\\x&=0.08\text{ km}^2\end{align*}$

Q2. 設 $x$ 為所求面積，從（2）可得出：

$\begin{align*}\dfrac{0.02\times 1,000^2\times 100^2}{x}&=\Big(\dfrac{1}{400}\Big)^2\\x&=1,250\text{ cm}^2\end{align*}$

Q3. 從（2）可得出所求比例則為：

$\begin{equation*}\sqrt{\dfrac{400}{25\times 1,000^2\times 100^2}}=\dfrac{1}{25000}=1:25000\end{equation*}$

即時練習

The scale of a map is $1:20000$ . If the area of a school on the map is $2\text{ cm}^2$ , then the actual area of the zoo is

A. $4\times 10^{-2}\text{ km}^2$ .
B. $8\times 10^{-2}\text{ km}^2$ .
C. $1.6\times 10^{-1}\text{ km}^2$ .
D. $5\times 10^{-1}\text{ km}^2$ .

某地圖的比例尺為 $1:20000$ 。若某學校在該地圖上的面積為 $2\text{ cm}^2$ ，則該學校的實際面積為

A. $4\times 10^{-2}\text{ km}^2$ 。
B. $8\times 10^{-2}\text{ km}^2$ 。
C. $1.6\times 10^{-1}\text{ km}^2$ 。
D. $5\times 10^{-1}\text{ km}^2$ 。

題解

Past Paper 參考題目

HKCEE Maths 1983 Paper 2 Q40
HKCEE Maths 1997 Paper 2 Q11
HKCEE Maths 2003 Paper 2 Q15
HKCEE Maths 2006 Paper 2 Q15
HKCEE Maths 2009 Paper 2 Q13
HKDSE Maths 2013 Paper 2 Q12
HKDSE Maths 2017 Paper 2 Q11
HKDSE Maths 2020 Paper 2 Q10

Scale on a map
地圖比例

即時練習

題解

Past Paper 參考題目

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